【汽車仿真】有限元法分析結(jié)果的誤差影響，四類誤差您了解嗎？

2017-01-23 by:CAE仿真在線來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

本文指出了有限元法分析結(jié)果的誤差影響存在于其每一操作步驟,并對(duì)這些誤差進(jìn)行了歸類分析。隨后,結(jié)合工程實(shí)例,通過(guò)改變單元類型(形狀和精度)、調(diào)整單元尺寸大小和應(yīng)用多種分網(wǎng)方式,顯示理想化誤差和離散化誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。最后,提出建議和今后的研究方向。

引言

有限元法分析起源于50年代初桿系結(jié)構(gòu)矩陣的分析。隨后,Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用結(jié)構(gòu)離散化的概念,將連續(xù)介質(zhì)體或復(fù)雜結(jié)構(gòu)體劃分成許多有限大小的子區(qū)域的集合體,每一個(gè)子區(qū)域稱為單元(或元素),單元的集合稱為網(wǎng)格,實(shí)際的連續(xù)介質(zhì)體(或結(jié)構(gòu)體)可以看成是這些單元在它們的節(jié)點(diǎn)上相互連接而組成的等效集合體;通過(guò)對(duì)每個(gè)單元力學(xué)特性的分析,再將各個(gè)單元的特性矩陣組集成可以建立整體結(jié)構(gòu)的力學(xué)方程式,即力學(xué)計(jì)算模型;按照所選用計(jì)算程序的要求,輸入所需的數(shù)據(jù)和信息,運(yùn)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解。

當(dāng)前,有限元方法/理論已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟和完善,而計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷革新,又在很大程度上推進(jìn)了有限元法分析在工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。然而,如此快速地推廣和應(yīng)用使得人們很容易忽視一個(gè)前提,即有限元分析軟件提供的計(jì)算結(jié)果是否可靠、滿足使用精度的前提,是合理地使用軟件和專業(yè)的工程分析。只有這兩者很好地結(jié)合,我們才能得到工程上切實(shí)可信的計(jì)算結(jié)果,否則只會(huì)在工程上造成極大的浪費(fèi),甚至帶來(lái)嚴(yán)重的工程事故。

誤差分析題

有限元法分析一般包括四個(gè)步驟:物理模型的簡(jiǎn)化、數(shù)學(xué)模型的程序化、計(jì)算模型的數(shù)值化和計(jì)算結(jié)果的分析。每一個(gè)步驟在操作過(guò)程中都或多或少地引入了誤差,這些誤差的累積最終可能會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果造成災(zāi)難性的影響,進(jìn)而蒙蔽我們的認(rèn)識(shí)和判斷。

第一步,物理模型的簡(jiǎn)化,主要有幾何實(shí)體、連接/裝配關(guān)系、環(huán)境邊界條件和材料特性的簡(jiǎn)化,進(jìn)而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。這些簡(jiǎn)化或者說(shuō)假設(shè),是必要的,也是必須的,但是也由此在模型中引入了理想化誤差(idealization error)。

有些理想化誤差是非良性奇異的,比如幾何實(shí)體簡(jiǎn)化時(shí)細(xì)節(jié)部位上忽略小的圓/倒角,連接/裝配關(guān)系簡(jiǎn)化時(shí)忽略焊縫和螺栓連接等,往往導(dǎo)致模型發(fā)生結(jié)構(gòu)方面(諸如L形截面的角點(diǎn))的奇異,即結(jié)構(gòu)奇異(奇異的數(shù)學(xué)定義是在某一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)無(wú)窮);

有些理想化誤差是良性奇異的,比如邊界條件簡(jiǎn)化時(shí)添加集中載荷和孤立點(diǎn)約束,導(dǎo)致模型發(fā)生邊界條件的奇異,即邊界奇異;

其它理想化誤差,比如幾何實(shí)體簡(jiǎn)化時(shí)三維殼/面體簡(jiǎn)化為二維殼/面、三維梁簡(jiǎn)化為一維梁,邊界條件簡(jiǎn)化時(shí)非均勻溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)簡(jiǎn)化為均勻溫度場(chǎng)和壓力場(chǎng)等,只會(huì)影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度,不會(huì)引發(fā)計(jì)算結(jié)果方面的數(shù)值奇異,即應(yīng)力奇異和位移奇異等。

理想化誤差是在有限元法分析開始之前引入的,因此我們不可能通過(guò)改進(jìn)有限元分析技術(shù)來(lái)達(dá)到消除其的目的,而只能通過(guò)修改數(shù)學(xué)模型本身來(lái)實(shí)現(xiàn)消除其的目的。

第二步,數(shù)學(xué)模型的程序化,主要有幾何實(shí)體的單元離散、單元網(wǎng)格的裝配連接、模型環(huán)境邊界條件的添加,進(jìn)而構(gòu)建計(jì)算模型。幾何實(shí)體的離散,和單元類型(形狀和精度)、單元尺寸以及分網(wǎng)方式的選擇有關(guān),不可避免地會(huì)引入離散化誤差(discretization error)。

離散化誤差,是根植于有限元法分析本身的,因此只能通過(guò)改進(jìn)有限元分析技術(shù)或者技巧來(lái)盡力消除/減小這方面的誤差,比如采用規(guī)則化的單元形狀避免單元在形狀上產(chǎn)生奇異(即單元奇異)、提高單元精度和增加網(wǎng)格密度減小計(jì)算方面的誤差等方法。

單元網(wǎng)格的裝配連接一般采用MPC多點(diǎn)約束法,因而會(huì)引入人為誤差(artificial error),這方面誤差的消除更多是需要長(zhǎng)期計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的積累。模型環(huán)境邊界條件的添加,其誤差影響依賴于第一步的理想化簡(jiǎn)化。

第三步,計(jì)算模型的數(shù)值化,主要是用數(shù)值計(jì)算方法(程序求解器)求解、逼近真實(shí)的解析值,因而必然存在數(shù)值化誤差(numerical error)。

數(shù)值計(jì)算方法的精度(非人為可控)越高,計(jì)算結(jié)果的誤差就越小,但計(jì)算的工作量也越大。實(shí)際考慮到計(jì)算精度和計(jì)算資源的利用,必然要做一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)一。

第四步,計(jì)算結(jié)果的分析,主要是利用數(shù)值計(jì)算結(jié)果來(lái)分析、評(píng)判,或預(yù)知真實(shí)的物理模型,由此也存在著認(rèn)知誤差(recognized error)。

認(rèn)知誤差的消除,一方面需要真實(shí)物理試驗(yàn)的指導(dǎo),另一方面依賴于分析人員的工程經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知能力。同時(shí),不要忘記了我們的前提假設(shè),即第一步物理模型的簡(jiǎn)化,或假設(shè)。

下文,將通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明理想化誤差和離散化誤差對(duì)有限元法分析結(jié)果的影響。計(jì)算時(shí),采用有限元數(shù)值分析軟件ANSYS11.0版本,32位操作系統(tǒng)軟件WindowsXP版本,HP xw4200服務(wù)器硬件平臺(tái),保證了程序求解器及其運(yùn)行環(huán)境的統(tǒng)一,以消除數(shù)值化誤差。

實(shí)例分析

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圖1 起豎支耳模型

圖1中所示為工程上最常見的起豎支耳模型,其包括兩個(gè)部分:橫板和豎耳。工藝生產(chǎn)上,即可以將橫板和豎耳做成一個(gè)整體鑄件(如圖1.a),也可以將二者作為兩個(gè)單獨(dú)的部件焊接而成(如圖1.b)。

有限元分析時(shí),一般會(huì)忽略鑄件上小的過(guò)渡圓角,也經(jīng)常忽略焊接件上的焊縫,即而簡(jiǎn)化為適于分析的幾何實(shí)體(如圖1.c)。工程使用中,起豎機(jī)構(gòu)通過(guò)銷軸作用于豎耳銷孔以推動(dòng)橫板連接機(jī)構(gòu)完成起豎,具體壓力載荷P的數(shù)學(xué)形式可表示為:

上式(1)中,P0為最大壓力載荷幅值,θ為載荷作用面上某點(diǎn)的周向角度,F為真實(shí)的載荷力,R為銷孔半徑,L為銷孔縱向長(zhǎng)度。數(shù)學(xué)建模時(shí),僅為滿足工程簡(jiǎn)單計(jì)算的需求,材料模型通常取為線性彈性模型。

為了顯示計(jì)算結(jié)果的誤差影響,這里選用三種評(píng)估方法:智能化自由網(wǎng)格劃分、規(guī)則化網(wǎng)格劃分和自適應(yīng)P改進(jìn),見表1。

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表1 三種評(píng)估方法

智能化自由網(wǎng)格劃分,利用SMRTSIZE選項(xiàng)控制單元尺寸大小,分割幾何實(shí)體為四面體單元,單元形狀較差,計(jì)算效率低;規(guī)則化網(wǎng)格劃分,利用線段分割數(shù)參數(shù)NSize控制網(wǎng)格單元大小,保證幾何實(shí)體規(guī)則劃分,以避免單元奇異,進(jìn)而消除離散化帶來(lái)的誤差影響;自適應(yīng)P改進(jìn)在規(guī)則化網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)上,通過(guò)提高單元精度以展示所關(guān)心位置處節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力收斂過(guò)程,進(jìn)而顯示理想化誤差帶來(lái)的影響。

關(guān)心位置包括:幾何簡(jiǎn)化引起結(jié)構(gòu)奇異的位置,豎耳根部左下角LUGDL、右下角LUGDR、左上角LUGUL和右上角LUGRL,這些位置的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力通常不會(huì)收斂,即應(yīng)力奇異;邊界約束引起邊界奇異的位置,橫板約束根部左下角PLATEDL、右下角PLATEDR、左上角PLATEUL和右上角PLATEUR,這些位置受剛性約束限制了其橫向位移(泊松比效應(yīng))從而導(dǎo)致應(yīng)力不收斂;實(shí)體離散可能引起單元奇異的位置,銷孔左下角PINDL、右下角PINRL、左上角PINUL和右上角PINUL,這些位置若網(wǎng)格規(guī)則其應(yīng)力集中,若網(wǎng)格不規(guī)則其應(yīng)力奇異。

1. 智能化自由網(wǎng)格劃分

按照有限元分析軟件前處理步驟,首先定義了單元類型(三維十節(jié)點(diǎn)四面體結(jié)構(gòu)單元SOLID187)、實(shí)常數(shù)和材料模型參數(shù);然后,采用智能化自由網(wǎng)格劃分技術(shù)對(duì)幾何實(shí)體圖1.c進(jìn)行分網(wǎng)(見圖2所示),單元尺寸大小由SMRTSIZE參數(shù)控制;最后,對(duì)模型進(jìn)行檢查,確保無(wú)誤后退出前處理模塊。

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圖2 有限單元模型

進(jìn)入有限元分析軟件計(jì)算模塊,首先給計(jì)算模型添加環(huán)境邊界條件:橫板左、右面固定約束,豎耳銷孔位置施加式(1)形式的載荷,其合力沿水平正Z軸方向;隨后,設(shè)置求解環(huán)境參數(shù),靜態(tài)分析;最后,對(duì)模型進(jìn)行檢查,確保無(wú)誤后求解退出計(jì)算模塊。

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圖3 銷孔上下邊緣應(yīng)力變化曲線

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圖4 豎耳根部角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線

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圖5 橫板約束角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線

由圖3-圖5所示,可以發(fā)現(xiàn):

1) 豎耳根部、銷孔上下緣和橫板約束根部的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力具有比較明顯的網(wǎng)格敏感特性,當(dāng)網(wǎng)格密度達(dá)到一定程度時(shí)其整體趨勢(shì)是隨著網(wǎng)格密度的增加(SMRTSIZE越小)應(yīng)力值無(wú)限增加,即不收斂;

2) 由于網(wǎng)格不太規(guī)則,使得載荷和位移邊界條件偏離對(duì)稱特性,因而對(duì)稱位置的應(yīng)力數(shù)值有明顯偏差。

眾所周知,特定工況下結(jié)構(gòu)的真實(shí)應(yīng)力,其數(shù)值只能有一個(gè),具有唯一性?？紤]到數(shù)值計(jì)算的精度問(wèn)題,其應(yīng)力計(jì)算值可能是一個(gè)圍繞真實(shí)應(yīng)力在一定精度范圍內(nèi)波動(dòng)的數(shù)值,而隨著數(shù)值精度的不斷提高,應(yīng)力計(jì)算值將會(huì)逐漸趨于一個(gè)有限數(shù)值,即真實(shí)應(yīng)力。由此看來(lái),圖3~圖5所示關(guān)心位置處應(yīng)力并非真實(shí)的應(yīng)力,而是計(jì)算得到的虛假應(yīng)力。

2. 規(guī)則化網(wǎng)格劃分

采用三維二十節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體單元SOLID186,利用線段分割數(shù)參數(shù)NSize控制網(wǎng)格單元大小,掃略劃分圖1.c幾何實(shí)體,見圖6所示。

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圖6 有限單元模型

由圖7~圖8所示,可以看出:

1) 由于網(wǎng)格規(guī)則,使得載荷和位移邊界條件滿足對(duì)稱特性,因而對(duì)稱位置的應(yīng)力數(shù)值基本完全重合;

2) 豎耳根部和橫板約束根部的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力仍具有比較明顯的網(wǎng)格敏感特性,其整體趨勢(shì)是隨著網(wǎng)格密度的增加(NSize越大)應(yīng)力值無(wú)限增加,即不收斂;

3) 銷孔上下邊緣的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力在4.45~4.50MPa范圍內(nèi)波動(dòng),且有收斂態(tài)勢(shì),因而其應(yīng)力計(jì)算值為真實(shí)應(yīng)力。

以上分析表明,銷孔上下邊緣的應(yīng)力結(jié)果誤差為離散化誤差,而豎耳根部角點(diǎn)和橫板約束角點(diǎn)的應(yīng)力結(jié)果誤差為理想化誤差。

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圖7 銷孔上下邊緣應(yīng)力變化曲線

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圖8 豎耳根部角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線

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圖9 橫板約束角點(diǎn)應(yīng)力變化曲線

3. 自適應(yīng)P改進(jìn)

采用三維二十節(jié)點(diǎn)六面體實(shí)體P單元SOLID147(其位移模式中形函數(shù)的階次可以在2~8之間自適應(yīng)選擇),設(shè)置線段分割數(shù)參數(shù)NSize=3控制網(wǎng)格單元大小,掃略劃分圖1.c幾何實(shí)體,見圖10所示。