CFD中的高階精度是不是扯淡

2017-08-12 by:CAE仿真在線(xiàn) 來(lái)源:互聯(lián)網(wǎng)

(本文對(duì)英文原文適當(dāng)概括)

先看高等數(shù)學(xué)對(duì)面積分的定義...,如圖:

(不要看文字...不要被各種專(zhuān)業(yè)名詞繞進(jìn)去,其實(shí)很好理解)

他的意思就是說(shuō),對(duì)f在面S上的面積分等于n個(gè)面微元的大小乘以對(duì)應(yīng)的n個(gè)f的值之和 (最后的公式)。

以上來(lái)自高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版下冊(cè)

然后看CFD中的面積分(下面的公式和上面的一個(gè)道理):

為了準(zhǔn)確的計(jì)算上述方程表示的面積分,需要知道每個(gè)面上的f值。當(dāng)然我們不知道每個(gè)面的f值,因此我們引入了各種插值方法。這涉及到2種插值:

面積分的積分點(diǎn)可以從1到n,即k=1,2,3,...,n;
面上的f值需要從體心值插值而來(lái);

先看第一條:最簡(jiǎn)單的當(dāng)然是中點(diǎn)(midpoint)規(guī)則。它認(rèn)為積分等于f在面心的值和面積大小的乘積(即高等數(shù)學(xué)的公式中i=1,面微元就是整個(gè)面,f的值為f的面心值)。中點(diǎn)規(guī)則為二階精度的。

當(dāng)然我們可以達(dá)到更高的精度,比如如果采用辛普森(Simpson)規(guī)則,我們的面積分這樣計(jì)算:

就是說(shuō),k=4。我們使用了4個(gè)點(diǎn)來(lái)計(jì)算這個(gè)面積分(中點(diǎn)規(guī)則使用了1個(gè)點(diǎn))。

再看第二條:從體心插值到面心大家都很熟悉,就是迎風(fēng)、中心、QUICK等格式。具有不同的精度。

如果我們針對(duì)第一條使用了中點(diǎn)規(guī)則達(dá)到了二階精度,那么我們對(duì)面心f的值進(jìn)行插值的時(shí)候也要至少保留二階精度。

如果我們針對(duì)第一條使用了辛普森規(guī)則達(dá)到了四階精度,那么我們對(duì)面心f的值進(jìn)行插值的時(shí)候也要至少保留四階精度(比如Cubic格式)。

不難理解,如果在從“體心插值到面心”的這個(gè)過(guò)程調(diào)用了高階精度格式,比如調(diào)用了三階精度的QUICK格式,那么我們?cè)诘谝粭l就至少調(diào)用三階精度的面積分規(guī)則。舉例:

二階精度的中點(diǎn)規(guī)則+三階精度的QUICK格式=二階精度。

四階精度的辛普森規(guī)則+三階精度的QUICK格式=三階精度。

因此,只有在面積分調(diào)用高階精度的時(shí)候,插值的高階精度才有意義。

然而CFD中通常使用二階精度的中點(diǎn)規(guī)則,這是不是就意味著高階精度就是鬼扯...

下面我們請(qǐng)出Henry!看看他怎么說(shuō):

OpenFOAM使用的就是中點(diǎn)規(guī)則,因此不管你怎么插值,規(guī)則網(wǎng)格上的體積分都是二階精度。但是,對(duì)流項(xiàng)還是使用高階格式好一點(diǎn)。當(dāng)然了你可以使用高階精度的面積分,但我覺(jué)得沒(méi)必要?；蛘?可以使用FDM,如果守恒不是很重要的話(huà)。